I kto tu jest kłamcą?

Pamiętacie paradoks Cezarego Pazury – Ramzesa  z filmu „E = mc2”? Facet, który zawsze go oszukiwał przyznał się, że kłamie. Wówczas też kłamał, czy mówił prawdę? Ta logiczna zagwozdka stanowiła niemałe wyzwanie dla logików przez kilka tysięcy lat prowokując wiele badań i osiągnięć na polu logiki, matematyki i informatyki. A rozwiązanie znalazła dopiero w dwudziestowiecznej Polsce. 

Antynomia kłamcy, bo tak się nazywa ten paradoks, przedstawia się następująco:

  1. Zdanie oznaczone numerem 1 jest fałszywe.

Jeżeli 1. jest prawdziwe, to to, o czym ono mówi jest fałszem, a więc mamy sprzeczność. Jeśli zaś jest fałszywe, to jego treść jest prawdą, co również jest sprzeczne. Tutaj leży paradoks. Tworzy się tzw. pętla semantyczna, która powoduje całe to zamieszanie: tworzymy zdanie samozwrotne, które zapętla swoje znaczenie, w taki sposób, że mówi samo o sobie.

Oto chyba najbardziej znany w literaturze paradoks kłamcy (biorąc pod uwagę, że biblia jest najpopularniejszą książką na świecie):

Św. Paweł pisze w liście do Tytusa: „Powiedział jeden z nich – Epimenides z Krety – ich własny wieszcz: «Kreteńczycy zawsze kłamią…»”. Spotykamy więc podobny problem: Epimenides, jako Kreteńczyk, również powinien kłamać, a jeżeli on kłamie, to Kreteńczycy wcale nie muszą być kłamcami, a więc mógłby również mówić prawdę. Znowu pętla.

Filozoficzna mrzonka?

Ktoś mógłby powiedzieć: cóż, problem pojawia się, bo wy logicy wynajdujecie takie zdania samozwrotne, które się zapętlają i stąd te wasze paradoksy. To jednak nie do końca słuszna uwaga. Wszak, ten problem pojawia się także w innych zdaniach, więc usunięcie zdań samozwrotnych z użycia języka wcale nie pomaga. Nie wspominając o konsekwencjach tych rozważań na polu informatyki. Weźmy paradoks Jourdina:

(a) Poniższe zdanie jest prawdziwe.
(b) Powyższe zdanie jest fałszywe.

Jeśli jest tak, że zdanie (a) jest prawdziwe, to (b) jest prawdziwe, a wtedy (a) musi być fałszywe. Jeśli natomiast (a) jest fałszywe, to (b) jest prawdziwe, a zatem (a) jest prawdziwe. W obu przypadkach spotykamy sprzeczność.

To może zmieńmy logikę?

Może jest tak, że tzw. logika klasyczna jest wadliwa i musimy ją zmienić? Przyjmijmy, że oprócz prawdy i fałszu zdania mogą mieć jeszcze jakąś trzecią wartość. Weźmy wcześniejszy przykład:
„1. Zdanie oznaczone numerem 1 jest fałszywe”.

Gdyby to zdanie było prawdziwe, to musiałoby ono równocześnie mieć jakąś inną wartość. Zaś gdyby miało ono tę trzecią wartość, to z konieczności musiałoby być prawdziwe. W każdy sposób dochodzimy do sprzeczności. A zatem zmiana logiki nic nie daje, a problem nadal pozostaje problemem.

Antynomia kłamcy, w jej różnych wersjach, jest tylko jednym z wielu paradoksów logicznych. Oto inny z paradoks: „Czy fryzjer, który strzyże wszystkich, którzy sami się nie strzygą, strzyże także sam siebie?” – to jeden z problemów teorii mnogości – czy zbiór, który zawiera wszystkie zbiory zawiera także sam siebie?

Jak sobie poradzić z tymi paradoksami?

Odpowiedź na to pytanie dał najwybitniejszy polski logik i filozof, Alfred Tarski. Jego rozwiązanie jest nota bene uznawane za jedno z najważniejszych polskich osiągnięć w naukach teoretycznych.

Tarski rozpoczął od rozróżnienia stopni języka: oddzielił on język od meta-języka, meta-język od meta-meta języka i tak dalej. W języku pierwszego stopnia (J) mówi się o przedmiotach/świecie np. Dorota się uśmiecha. W języku drugiego stopnia – metajęzyku (MJ) – mówi się o języku np. Zdanie „Dorota się uśmiecha” ma trzy wyrazy. Zdanie języka trzeciego stopnia (MMJ) może brzmieć: „Zdanie  «Dorota się uśmiecha» ma trzy wyrazy” jest prawdziwe itd.

Zgodnie ze stopniami języka, każde stwierdzenie, że jakieś zdanie jest prawdziwe lub fałszywe musi odbywać się w metajęzyku (dla tego języka), a więc w języku wyższego rzędu. Ta prosta reguła rozwiązuje nasze paradoksy, gdyż je od razu dyskwalifikuje za pomieszanie stopni języka. Jeżeli bowiem stwierdzamy:

1. Zdanie oznaczone numerem 1 jest fałszywe.

to w jednym zdaniu mamy zawarte zdania z dwóch różnych poziomów języka i stąd powstaje problem. Można by powiedzieć, że czym innym jest to, o czym mówi zdanie, a czym innym jest samo zdanieTreść zdania zawiera słowo „prawdziwy”, które przynależy tylko do MJ, zaś samo zdanie (1) jest zdaniem z języka pierwszego rzędu (J), który nie może zawierać elementów z MJ. Co ciekawe, na poziomie meta to zdanie może być prawdziwe, zaś na poziomie meta-meta może być fałszywe i nie ma tu żadnej sprzeczności. Nie wchodząc w szczegóły analiz na poziomie MMJ, możemy stwierdzić, że problem znika, gdy pilnujemy stopni języka. To rozwiązanie większości z paradoksów logicznych, które walnie przyczyniło się do powstania i rozwoju języków komputerowych.

Warto dodać, że w ten sposób nie tylko pozbywamy się problemu z antynomią kłamcy, ale jesteśmy w stanie zbudować teorię prawdy, dzięki której Tarski stał się tak sławną postacią w świecie nauki. Pewnie będę jeszcze o tym, pisał, bo to temat mojej pracy magisterskiej 🙂

2 komentarze

  1. rafi
    ·

    Wydaje mi się że nie ma co rozwikływać takich paradoksów, po prostu język ludzki jest tak bogaty że umożliwia tego typu konstrukcje. Wystarczy stwierdzić że możliwe jest zbudowanie takich zdań samoodnośnych. Język zazwyczaj służy nam do opisu rzeczywistości, i wtedy zdania mają określoną wartość logiczną, chociaż czasem nie wiemy jaka jest wartość logiczna jakiegoś zdania (bo brakuje nam wiedzy).

    W fizyce też mamy różne modele rzeczywistości które dobrze opisują tę rzeczywistość, ale czasem próbując rozwikłać problem w tym modelu dochodzimy do sprzeczności. Dajmy na ten przykład obwody elektryczne. Obwody takie są budowane ze źródeł napięciowych (baterie), oporników, żarówek, przełączników, to wszystko łączone równolegle albo szeregowo kawałkami drutu. A co jeśli dwa bieguny źródła napięciowego połączy się kawałkiem drutu? Wychodzi sprzeczność. Bo z jednej strony źródło napięciowe ma zawsze stałe napięcie, powiedzmy 5V. A z drugiej strony na końcach drutu napięcie jest zawsze 0V. To w końcu jakie napięcie jest? W praktyce wiemy że nie istnieją w przyrodzie ani doskonałe źródła napięciowe, drut też nie jest doskonałły (chyba że ktoś używa nadprzewodnika), więc pewnie drut by się szybko przepalił albo poszedby bezpiecznik, i po eksperymencie.

    Inny przykład: w elektronice istnieje coś takego jak logiczna bramka NOT. Na wejsciu takiej bramki podaje się napięcie 0V albo 5V, a na wyjściu jest odwrócona logicznie wartość napięcia: To znaczy, jeśli na wejściu jest 0V, to na wyjściu jest +5V, a jeśli na wejściu jest +5V, to na wyjściu jest 0V (to tak w uproszczeniu). To się łączy jeszcze z innymi bramkami – AND, OR (mają po dwa wejścia), łaczy się te bramki kaskadowo, i na wyjściu ustala się jakaś wartość logiczna (0V albo 5V) w zależności od kombinacji wartości logicznych na wejściach. To wygląda podobnie jak określa się wartość logiczną zdania, które składa się ze zdań prostych połączonych spójnikami „i”, „lub” oraz „nie”. I znowu, można się zastanowić, jaka wartość logiczna będzie na wyjściu bramki NOT, jeśli połączy się jej wejście z jej wyjściem? Rozumowanie do złudzenia przypomina paradoks kłamcy. W praktyce wiadomo, że wartość logiczna na wyjściu dowolnej bramki pojawia się z minimalnym opóźnieniem, i takie połączenie powoduje że bramka staje się generatorem przebiegu kwadratowego o dość dużej częstotliwości.

    Całkiem możliwe że takie obserwacje doprowadziły do wymyślenia pojęcia zdań samoodnośnych.

    Odpowiedz
  2. rafi
    ·

    Jeszcze jedno mi się przypomniało. Nawiązując do teologii, ktoś kiedyś zadał pytanie na temat wszechmocy Boga: czy wszechmocny Bóg mógłby stworzyć taki kamień, którego nie mógłby podnieść?

    Pozostawiam nierozstrzgnięte to pytanie, zwracając jednak na jedną rzecz: to zdanie też jest z gatunku samoodnośnych, tylko tutaj wciąga się w to jeszcze Boga, który jednocześnie mógłby coś zrobić i tego samego nie mógłby zrobić. Z punktu widzenia logiki tak pojmowana „wszechmoc” jest pojęciem sprzecznym. Czy wszechmoc oznacza możliwość tworzenia reczy, które nie mogą istnieć? Jeśli na przykład przez dwa punkty da się przeprowadzić tylko jedną prostą, to czy wszechmocny Bóg mógłby poprowadzić przez te dwa punkty jeszcze drugą prostą?

    Odpowiedz

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *